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수학교구 ‘하노이탑퍼즐’

수학교구라고 하면 비싸다는 인식이 있습니다. 한번 구입하면 관리가 힘들고 사용하면 좋지만 사용하기까지 불편한 점이 없지는 않죠. 이런 수학 교구를 대신할 만한 앱 중에서 좋은 것이 있어서 소개하려고 합니다.  하노이탑을 직접 움직여 볼 수 있는 어플입니다.

우선 하노이 탑은 1883년 프랑스 수학자 루카스(Lucas)에 의해 고안된 문제입니다. 원래는 가운데 구멍이 뚫린 원판이 기둥에 꽂아져 있는데 이것을 다른 기둥으로 옮겨 원래 있던 원판모양 그대로 옮기면 됩니다. 하지만 여기에서 옮길 때 규칙이 있습니다. 작은 원판은 절대 큰 원판 아래에 올 수 없고 한번에 한 개씩 만 옮길 수 있습니다. 굉장히 간단하지만 원판의 개수가 많아지면 많아질수록 어떻게 옮겨야 할지 논리적으로 생각을 해야 합니다.

하노이탑퍼즐

초등학교 수준에서는 원판을 다른 막대로 옮길 수 있는 최소의 이동횟수가 얼마인지를 규칙성을 찾는 정도의 수준으로 활용할 수 있을 것입니다. 고등학교 수준이 되면 점화식을 이용하여 원판의 개수에 따른 점화식을 나타내기 전 단계에서 학생들이 이 점화식의 규칙을 찾는데 활용한다면 재미있게 사용 할 수 있는 어플입니다.

하노이탑과 관련한 여러 앱이 있었지만 그 중에서도 가장 좋은 어플이라 생각되어 소개합니다. 원판의 개수는 세개부터 8개까지 만들어서 이동을 할 수 있고 이동을 할 때마다 몇 번을 이동을 했는지 이동횟수와 진행시간이 표시되어 학생들이 재미있게 할 수 있습니다. 하지만 되돌아가기 버튼은 1회 되돌아가기가 아니라 다시 처음부터 시작하게 되기 때문에 실수로 잘못 움직였다면 다시 처음부터 시작해야 합니다.  주입식 교육이 아닌 학생들이 수학을 체험할 수 있는 수업을 원한다면 아주 손쉽게 사용할 수 있는 어플입니다.

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수학을 경험해보는 Geogebra

이제는 수학을 공부할 때 수학을 계산적인 측면에서만 다루지 않고 수학을 체험해 보고 원리를 이해할 수 있게 가르치려고 합니다. 그래서 초등학교에서는 수학의 스토리 텔링을 강조하고 있습니다.  태블릿피시는 이런 수학적 경험을 가능하게 만들었습니다. 특히 초등학생이나 미취학 아동이 사용할 수 있는 수학앱은 많이 있지만 그에 비해 중등학생이 사용할 수 있는 앱은 많지 않습니다.

geogebra

이번에 소개하려고 하는 앱은 GeoGebra라는 수학 어플리케이션입니다.  지오지브라는 기하, 대수, 스프레드시트, 그래프, 통계 미적분과 관련된 모든 수준의 교육에 사용할 수 있는 움직이는 수학 소프트웨어 입니다.  간단한 도형에서부터  똑같은 도형을 빈틈 없이 맞춰 평면을 덮는 테셀레이션까지 어렵지 않게 만들 수 있고 학습지로도 만들어 학생들이 그것으로 직접 도형을 움직이면서 도형들 사이에 어떠한 연관성이 있고 어떤 의미를 가지고 있는지 글이 아닌 체험으로 학습을 가능하게 합니다.  고등, 대학 수학까지도 사용이 가능한 소프트웨어인 만큼 많은 기능이 있고 버튼도 많이 있어서 사용법이 그리 간단하지는 않습니다. 하지만 기능에 익숙해진 후에는 수학관련 학습지를 손쉽게 만들어 사용할 수 있습니다. 기능에 익숙하지 않으신 분들이라면 GeoGebra에서 제공하는 매뉴얼이나 Youtube에 올라온 동영상 강의를 이용하여 기능을 익힐 수도 있습니다.

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GeoGebra를 이곳에서 다운로드 받을 수 있습니다.  컴퓨터에서 사용이 가능하고 Android,  ios, Windows 기기로 다운받아서 사용이 가능합니다. 전 세계에 무료로 배포되는 소프트웨어이기 때문에 전세계의 수학 교사들이 만들어 놓은 학습지 또한 사용이 가능합니다.

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기능이 다양하고 정교한 만큼 쉽게 사용이 가능한 소프트웨어가 아님은 확실합니다. 하지만 선생님이 만든 학습지나 그래프를 보면서 수업을 하게 된다면 학생들의 수학에 대한 이해도가 확실히 높아지는 교육용 앱입니다.

  GeoGebra 홈페이지

 GeoGebra 매뉴얼

GeoGebra Youtube  동영상 채널

교육에서도 사용할 수 있는 Send anywhere

요즘과 같이 많은 사람들이 스마트폰을 사용하는 시대에는 서로간 파일을 주고받는 일도 많이 생깁니다. 사진을 공유하고자 할 때 보통은 카카오톡을 많이 사용하곤 하는데 상대방이 꼭 친구로 등록이 되어 있어야만 파일을 전송보내거나 받을 수가 있습니다. 혹은 핸드폰에 있는 사진이나 문서를 컴퓨터로 받고자 할 때에는 이메일로 전송을 하고 이메일에 들어가서 파일을 받아야 하는 일이 번거로울 때가 있습니다. 이러한 번거로움을 해결할 수 있게 해 주는 앱이 있어서 소개합니다.

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교실에 스마트패드가 들어오면서 여러 학생들이 개인별로 혹은 팀별로 스마트패드를 가지고 협업을 해서 일을 진행하는 일이 많아졌습니다. 하나의 프로젝트를 수행하기 위해서 한 명은 자료를 검색하고 사진을 검색하고 다른 한명은 자료를 가지고 문서를 제작하는 형식으로 하곤 하는데요. 이 때, 가장 필요한 것이 파일을 쉽게 공유할 수 있는 일입니다. 파일이 제대로 공유가 안된다면 협업을 하는 것 자체가 어려워지기 때문입니다.

Send anywhere로는 서로 다른 OS를 사용하는 기기들 간에도 쉽게 파일을 받고 보낼 수 있고 사용법 또한 굉장히 간단합니다.  회원가입이나 로그인 같은 절차 없이 앱을 설치만 하면 바로 사용이 가능합니다.

앱을 실행하고 보내고자 하는 파일을 선택하고 보내기 버튼을 누르면 해당 파일을 받을 수 있는 키번호가 나옵니다. 받고자 하는 기기에서 Send anywhere를 실행하고 받기를 누르면 해당파일을 받을 수 있습니다. 컴퓨터에서 받고자 하면 send-anywhere.com으로 접속하여 받을 수 있습니다. 한 번 받은 키 번호는 계속 사용할 수 있는 것이 아니고 10분 정도의 시간동안만 유효하기 때문에 저장을 해 둘 수 있는 기능은 아닙니다.

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 (컴퓨터에서 사용할 때의 화면입니다.)

 하지만 24시간 동안 파일을 저장해 둘 수 있는 새로운 기능이 생겼습니다. 기존의 10분 동안만 이용할 수 있었던 기능에서 이 시간의 폭을 확대해서 더 많은 용도로 사용이 가능해 졌습니다. 인스에듀테인먼트 교육에서 이 기능을 활용한 방법에 대해 잠시 소개하고자 합니다.

스마트어드벤처 교육을 진행하면서 학생들에게 미션을 해결할 수 있는 힌트를 숨겨놓는 형식으로 교육을 진행하였습니다.  교육 하루 전에 자료를 올려 두면 그 자료를 교육하는 동안 학생들이 선생님의 특별한 지도나 지시 없이도 확인이 가능하다는 점을 이용하였습니다. 특정 장소에 숨겨둔 힌트를 직접 알려주지 않고  Send anywhere에서 하룻동안 사용할 수 있는 키만 공개하여 학생들이 개별로 확인을 할 수 있도록 하였습니다. 학생들이 스스로 Send anywhere로 해당 자료를 다운받아 확인을 할 수 있도록 하여 학생들 스스로 무언가를 찾고 확인하는 과정에서 성취감과 흥미를 얻을 수 있도록 하였습니다.

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이 교육 후에 따로 방법을 설명하지는 않았지만 학생들 스스로 Send anywhere 앱을 이용하여 자료를 공유하여 결과물을 만드는 것을 확인하였습니다. 학습용으로 만들어진 앱은 아니지만, 학생들간의 협업을 위해 또는 좀 더 재미있는 수업 구성을 위해서 사용하면 좋은 어플입니다.

음악을 그려보는 Sketch a song

음악을 그려볼 수 있는 앱 Sketch a song을 소개하고자 합니다.

보통의 음악을 만드는 앱은 굉장히 복잡하고 선택해야 할 것들도 많고 조절할 것도 많습니다. 하지만 이 앱은 직관적인 인터페이스로 몇 번의 터치만으로도 듣기 좋은 선율이 만들어집니다.

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오선지에 정확한 기호로 정확하게 기록하지 않아도 듣기 좋은 음악이 나오지만 정교하게 음악을 만들기에는 무리가 따릅니다. 무엇보다도 음악의 ‘음’자를 모르는 어린 학생들이 그림을 그리듯이 사용을 하여도 듣기 좋은 음악이 만들어지기 때문에 음악에 흥미를 갖게 하고자 하는 학부모님들 또는 음감을 익히고자 하는 학생들이 사용하기에 굉장히 적합한 어플입니다.

 현악기, 관악기, 타악기, 사람의 목소리 등 총 36가지의 다른 악기를 선택을 할 수 있고 오선지 대신에 몇가지 코드가 정하진 노트에 원하는 악기를 선택하고 원하는 음을 간단한 터치만으로 그림을 그리듯이 선율을 표현할 수 있습니다. 

여러 가지 악기의 소리를 확인할 수 있어 악기의 소리를 확인하거나 간단한 음악을 만들어 보는 활동이나 수업에 활용하기 적합합니다. 사용하기 편리한 감은 있지만 정확히 원하는 음악을 만들 수는 없다는 점에서 고학년의 학생들보다는 저학년의 학생들에게 더욱 적합합니다.

Sketch a song 에서 만들어진 음악을 앱 내에서만 들을 수 있고 다른 앱이나 이메일로 공유를 할 수는 없다는 점이 아쉽지만, ios와 Android 모든 기기에서 무료로 사용이 가능하여 학교 수업이나 또는 집에서 손쉽게 사용할 수 있는 앱입니다.

 

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